Виды взаимодействия игроков

Игра в форме характеристической функции может быть по-
строена на основе игры в нормальной форме. Так обычно и прихо-
дится делать, потому что даже кооперативные игры обычно
формулируются сперва в нормальной форме – перечислением
стратегий игроков и их функций выигрыша.
Характеристическая функция определяет выигрыш, полу-
чаемый коалицией S (если в процессе игры такая коалиция обра-
зовалась) при рациональных действиях ее участников. Что пони-
мать в каждом конкретном случае под рациональными действиями
игроков, должно быть понятным из постановки игры в нор-
мальной форме и выбранной модели рационального поведения
(см. главы 3 и 4).
Базовая модель кооперативной игры разрешает передачу вы-
игрыша между игроками, а это значит, что предполагается нали-
чие линейно-трансферабельного товара, например, денег (см.
раздел 2.2).
Характеристической функцией игры n лиц называется веще-
ственнозначная функция36 v(S), определенная на подмножествах
SÍN, такая, что v(Æ)=0.
Характеристическая функция называется супераддитивной,
если
(14) “S, T Î2N : S IT =Æ v(S) + v(T ) £ v(S UT ) ,
то есть для любых непересекающихся коалиций их объединение
может получить полезность не меньшую, чем эти коалиции могли
бы в сумме получить, действуя по отдельности. В этих условиях
объединение в коалицию, включающую всех игроков, представ-
ляет собой самое эффективное с точки зрения суммарной полез-
ности поведение участников игры, однако дополнительного ис-
следования требует устойчивость этой коалиции.
36 В настоящей главе используются обозначения, принятые в работах
по кооперативным играм. Можно надеяться, что совпадения символов
(например, характеристической функции и функции полезности – см.
раздел 1.1, и др.) не приведут к путанице.
96
Супераддитивные игры представляют собой, в некотором ро-
де, типичный случай. Действительно, пусть есть коалиции S и T с
их выигрышами v(S) и v(T). Что мешает образующейся коалиции
SÈT действовать так, как если бы такого объединения не сущест-
вовало? Тогда полезность этой коалиции будет как минимум равна
сумме полезностей коалиций S и T, обеспечивая супераддитив-
ность. Это – нестрогие рассуждения и, как будет показано ниже,
они верны лишь при соответствующих предположениях.
Классическая теория рассматривает, в основном, суперадди-
тивные игры. Главными вопросами, которые встают при их ис-
следовании – это вопросы об условиях реализуемости и устойчи-
вости максимальной коалиции и «справедливом» распределении
выигрыша v(N) между игроками.
Обычно игровые задачи ставятся в нормальной форме. Для
исследования кооперативных взаимодействий игру необходимо
перевести в форму характеристической функции. При этом про-
цедура перехода существенно зависит от используемого принципа
рационального поведения. Для классической постановки задачи
теории кооперативных игр характерно отсутствие информирован-
ности членов коалиции о стратегиях игроков, не входящих в коа-
лицию. У членов коалиции не предполагается даже знания о
структуре других образовавшихся коалиций. Также предполага-
ется, что выбор стратегий игроками происходит одновременно.
В этих условиях осторожные игроки должны использовать
принцип МГР для оценки выигрыша коалиции, к которой они
собираются присоединиться. Применение принципа МГР для не-
которой коалиции S состоит в минимизации выигрыша коалиции
по стратегиям игроков, не входящих в коалицию S, и, затем, в мак-
симизации выигрыша по стратегии коалиции S (см. раздел 4.1).
Под стратегией коалиции понимается вектор стратегий ее
участников, а под выигрышем коалиции – сумма их выигрышей.
Характеристическая функция определяется выражением
(15) ( ) max min [ ( , \ )]
\ \
åÎ
Î Î
=
i S
y A y A i S N S
v S K y y
S S N S N S
,
97
где S i i S y y Î = ) ( Î AS = Õ
ÎS i
Ai – вектор действий участников коа-
лиции S.
Можно заменить чистые стратегии на смешанные. Тогда v(S)
будет в точности совпадать с решением антагонистической игры
двух лиц – коалиции S и коалиции N\S [17, 48, 65].
Введенная таким образом характеристическая функция су-
пераддитивна [65].
Несмотря на удобство использования максимина (то есть
применения принципа МГР) для построения характеристической
функции, дополнительная информированность игроков может
сделать более логичным использование других концепций равно-
весия. Обратим внимание на то, что переговорный процесс должен
сопровождаться передачей игроками друг другу информации о
своих функциях выигрыша, поскольку подобные данные могут
оказывать существенное влияние на структуру коалиций. В связи с
этим можно предположить, что к моменту окончательного выбора
коалиции каждый игрок (а, значит, и любая коалиция) будет
обладать информацией о целевых функциях всех остальных иг-
роков (а, значит, и всех возможных коалиций). В этих условиях
коалиция S должна ожидать от остальных игроков действий, на-
правленных на максимизацию их функций полезности, а не дей-
ствий, наихудших для коалиции S, как предписывает максимин
(напомним, что в играх с произвольной суммой минимаксная
стратегия второго игрока может не совпадать с наихудшим, с
точки зрения первого игрока, его поведением). Такие модифика-
ции процедуры построения характеристической функции могут
приблизить модель к реальному процессу переговоров, однако при
этом может нарушаться супераддитивность. Чтобы восполь-
зоваться многочисленными результатами кооперативной теории
игр, полученными для супераддитивных игр, необходимо для
каждой такой процедуры проверять, сохраняется ли при ее при-
менении свойство супераддитивности.
98
5.3. Описание игры в терминах
характеристической функции
Определение 22: Игра в форме характеристической функции
задается множеством игроков N и характеристической функцией
v(×) на его подмножествах.
Одним из часто встречающихся видов игр являются игры с
постоянной суммой.
Определение 23: Кооперативная игра (N, v) называется игрой
с постоянной суммой, если для любой коалиции S справедливо
равенство
(16) v(S) + v(N \ S) = v(N).
Многими исследователями отмечалось, что вопрос о порядке
и способах взаимодействия игроков в теории кооперативных игр
разработан недостаточно полно. Однако целью введения характе-
ристической функции, как основы описания игры, является именно
упрощение постановки задачи за счет того, что подробности
функционирования, такие как: переговорный процесс, процесс
образования коалиций, механизмы выработки совместной страте-
гии, и пр. скрыты «внутри» характеристической функции игры.
Такое смысловое наполнение характеристической функции может
быть достаточно сложным, однако на уровне постановки задачи
поведение игроков описывается относительно просто.
Игроки в процессе игры выбирают, к какой коалиции им
присоединиться, и каким образом будет распределяться выигрыш
этой коалиции. Затем, после образования коалиций, каждая из них
получает выигрыш v(S), равный значению ее характеристической
функции. Полученный выигрыш распределяется между членами
коалиции согласно предварительной договоренности.
Классическая постановка с целью упрощения задачи не
предполагает никакого описания процесса переговоров. Фактиче-
ски, предметом исследования является рациональное, с некоторой
точки зрения, распределение выигрыша коалиции между ее уча-
стниками.
Обычно считается, что выигрыш коалиции равен значению
характеристической функции для этой коалиции. Однако можно
заметить, что характеристическая функция определяет гарантиро-
99
ванный выигрыш, но, в общем случае, в результате игры коалиция
может получить и выигрыш, больший гарантированного, опреде-
ляющего лишь минимальное значение выигрыша при самых не-
благоприятных условиях. Проблема распределения такого «не-
ожиданного» дохода лежит за рамками исследования кооператив-
ной теории игр, так как этот «бонус» не влияет на рациональную, с
точки зрения игроков, структуру коалиций. Считается, что процесс
кооперирования опирается только на имеющуюся информацию, в
роли которой выступает лишь характеристическая функция игры.
Перейдем к обсуждению возможных способов распределения
выигрыша коалиции между ее участниками.