Решения в угрозах и контругрозах

Еще одна концепция решения, которая, подобно решениям в
конфигурациях, не ограничивается исследованием случая, когда
реализуется максимальная коалиция, а рассматривает как резуль-
тат игры и случаи неполного согласия игроков – это концепция
решений в угрозах и контругрозах, которая основана на следую-
щей идее. Пусть, например, в процессе игры трех лиц образовалась
коалиционная структура {{1, 2}, {3}}, содержащая коалицию
T = {1, 2}, в которую входят игроки 1 и 2. При распределении до-
хода коалиции v({1, 2}) игроки 1 и 2 получают суммы x1 и x2 соот-
ветственно. Тогда, если игрок 1 недоволен таким распределением,
то он может сказать своему партнеру, что если его доля дохода не
будет увеличена, то он сформирует коалицию S = {1, 3}, где смо-
жет рассчитывать на больший выигрыш. Если такая коалиция S
может образоваться, то есть если игроку 3 выгодно сменить кон-
фигурацию x на новую конфигурацию y, то такое заявление реаль-
но может угрожать целостности коалиции T и называется угрозой
игрока 1 игроку 2. В свою очередь, игрок 2, интересы которого
ущемлены подобным сценарием, может заявить игроку 1, что в
115
случае подобных его действий он может предложить игроку 3 та-
кую конфигурацию z коалиционной структуры {{1}, {2, 3}}, что
игрок 3 получит больший доход, чем в конфигурации y, а сам иг-
рок 2 получит не меньше, чем в исходной конфигурации x. Таким
образом, игрок 2 выдвигает контругрозу, «защищающую» его до-
лю x2. Для математического описания этой идеи введем следую-
щие определения.
Пусть G = {T1,…,TN } – некоторая коалиционная структура, а K
– произвольная коалиция. Тогда партнерами коалиции K назовем
множество P(K,G) ={i : iÎTk , Tk I K ¹ Æ}.
Таким образом, игрок i – партнер коалиции K в Г, если он
входит в ту же коалицию, что и какой-либо из игроков K. Смысл
этого определения состоит в следующем: чтобы члены коалиции K
могли получить свою долю в коалиционно рациональной кон-
фигурации (x, Г), им необходимо согласие только своих партнеров.
Пусть (x, Г) – коалиционно рациональная конфигурация в
игре v, а K и L – непустые непересекающиеся подмножества неко-
торой коалиции ÎG Tk . Тогда угрозой коалиции K против коали-
ции L называется коалиционно рациональная конфигурация (y, U),
удовлетворяющая условиям: P(K,U)I L =Æ, yi > xi для всех
iÎK , yi ³ xi для всех iÎP(K,U).
Пусть (x, Г) – коалиционно рациональная конфигурация в
игре v, а K и L – те же коалиции, что и в предыдущем определе-
нии. Если (y, U) – угроза коалиции K против коалиции L, то
контругрозой коалиции L против коалиции K называется коали-
ционно рациональная конфигурация (z, V), удовлетворяющая ус-
ловиям: K Ë P(L,V ) , zi ³ xi для всех iÎP(L,V ), zi ³ yi для всех
iÎP(L,V ) I P(K,U) .
То есть члены коалиции K, выдвигая угрозу против L, претен-
дуют на то, что они смогут получить больше путем перехода к но-
вой коалиционно рациональной конфигурации, и что их новые
партнеры будут согласны с этим. Члены коалиции L могут выдви-
нуть контругрозу, если они сумеют найти третью коалиционно ра-
циональную конфигурацию, в которой и они, и все их партнеры
116
получат не меньше своей первоначальной доли. Если для этого
членам L в качестве партнеров нужны некоторые партнеры коали-
ции K (или даже некоторые члены K) в конфигурации угрозы, то
им дают не меньше, чем они получали в коалиционно рациональ-
ной конфигурации угрозы.
Определение 46: Конфигурация называется устойчивой, если
на каждую угрозу произвольной коалиции K против любой другой
коалиции L найдется контругроза коалиции L против коалиции K.
Определение 47: Множество всех устойчивых конфигураций
называется решением в угрозах и контругрозах (или решением по
Ауману-Машлеру [72]).