Равновесие в доминантных стратегиях

Определение 9: Стратегия xi
* называется доминантной стра-
тегией игрока i, если для любой обстановки x i X i - - Î и для лю-
бых xi Î Xi справедливо неравенство ( * | ) ( )
Ki xi x i Ki xi x i - - ³ .
Это определение означает, что, если у игрока, независимо от
действий противников, есть стратегия, дающая ему максимальный
по сравнению с другими его стратегиями выигрыш, то эта страте-
гия называется доминантной.
Целесообразность использования каждым игроком своих до-
минантных стратегий очевидна.
Определение 10: Если для каждого игрока i существует доми-
нантная стратегия xi
*, то их совокупность x xi iÎN * = ( * ) называется
равновесием в доминантных стратегиях (РДС).
Равновесие в доминантных стратегиях существует далеко не
для всех игр. Приведем несколько лемм, определяющих некоторые
классы игр, в которых существует равновесие в доминантных стра-
тегиях.
Лемма 2 [65]. Если в игре n лиц xi Î[ai ,bi ] , функции выиг-
рыша непрерывны по совокупности стратегий и для каждого игро-
ка частная производная ( ) i i
i
i x x
x
K
- ¶
¶
, существует и везде знакопо-
стоянна, то существует РДС. При этом доминантной стратегия *
xi
i-го игрока будет стратегия
67
ï ïî
ï ïí
ì
>
¶
¶
<
¶
¶
=
0
0
,
, *
i
i
i
i
i
i
i
x
K x
K
b
a
x , i Î N.
Идею леммы 2 можно обобщить на более широкий класс игр.
Лемма 3 [65]. Если в игре n лиц xi = [ai ,bi ], а функция выиг-
рыша произвольного игрока i сепарабельна по стратегии этого
игрока, то есть ( , ) 0 ( ) 1 ( )
Ki xi x-i = Ki xi + Ki x-i , i Î N, и Ki0 (×) име-
ет единственный максимум на множестве действий Xi, то сущест-
вует РДС, причем для игрока i его доминантная стратегия:
*
xi = arg max 0 ( )
x X i i
K x
iÎ i
, i Î N.
Для доказательства лемм 2 и 3 достаточно проверить опреде-
ление РДС.
3.8. Оптимальность по Парето
«Равновесие» Парето можно назвать, наверное, самым общим
принципом рациональности. Принцип В. Парето утверждает, что,
если для ситуации x существует такая ситуация y, что выигрыш
каждого из игроков при реализации ситуации y не меньше, чем
при реализации ситуации x, и по крайней мере один игрок по-
лучает выигрыш, строго больший, то игроки предпочтут ситуацию
y ситуации x. Формально определение выглядит следующим об-
разом.
Определение 11: Ситуация x* в игре Г называется оптималь-
ной по Парето, если для любой ситуации x ¹ x* , найдется игрок i,
такой, что Ki (x) Ki (x* ) < .
Этот принцип представляется в некотором смысле полярным,
противоположным к равновесию в доминантных стратегиях. Если
РДС представляет собой верх индивидуалистического поведения
игроков, то равновесие Парето является критерием сотрудничест-
ва. Действительно, если есть ситуация, которая приносит всем иг-
рокам не меньший доход, чем существующая, то почему им не
реализовать более выигрышную для всех них ситуацию? Однако
для этого необходимы объединенные усилия всех игроков, так как
68
реализующаяся ситуация зависит от «правильного» выбора всех
стратегий. Из принадлежности ситуации множеству недоминируе-
мых по Парето ситуаций не следует, что такая ситуация выгодна
для всех игроков. Как будет показано ниже при рассмотрении рав-
новесия Нэша, отдельные игроки могут быть недовольны своим
выигрышем в недоминируемой по Парето ситуации, так как, изме-
нив в одиночку свою стратегию, они могут увеличить свой выиг-
рыш. Ответные действия других игроков, ущемленных таким по-
ведением, могут вывести ситуацию из множества Парето.
Как и удаление доминируемых стратегий, равновесие Парето
обычно выделяет достаточно широкое множество ситуаций, в ко-
торых одновременно не может быть увеличен выигрыш всех иг-
роков. Тем не менее, очевидная рациональность оптимальных по
Парето исходов приводит к мысли, что хорошая теоретико-
игровая концепция решения должна считать рациональными
только оптимальные по Парето исходы.
Пример 11. «Сравнение оптимальности по Парето и РДС».
Рассмотрим игру, в которой участвуют n > 2 игроков со стра-
тегиями xi Î [0; 1]. Функции выигрыша игроков: å
¹
= -
j i
Ki xi x j .
Так как целевые функции сепарабельны, доминантными
стратегиями всех игроков являются стратегии =1 xi (см. лемму 3).
Выигрыши игроков при этом будут равны Ki = 2 - n < 0 .
Равновесие в доминантных стратегиях не оптимально по Па-
рето, поскольку при выборе, скажем, = 0 xi все игроки получают
нулевой выигрыш вместо отрицательного выигрыша в РДС. ·
Этот пример показывает, что стремление к общему благу
может вступать в противоречие с индивидуальными интересами.
Используя доминантные стратегии, все игроки обеспечивают себе
меньший выигрыш, чем при использовании строго доминируемой
стратегии = 0 xi .
Неустойчивость оптимальной по Парето ситуации поднимает
вопрос о целесообразности расширения рассматриваемой модели
игры. Можно, например, включить в модель возможность заклю-
чения игроками договора о выборе стратегий. Если этот договор
будет предусматривать наказание за невыполнение соглашения,
69
оптимальный по Парето исход в этой игре будет достижим [51].
Такие игровые модели будут рассмотрены ниже. Аналогичные
идеи используются для обеспечения устойчивости оптимальных по
Парето исходов в повторяющихся играх [21, 33, 52, 58].