Принцип максимального гарантированного результата

Принцип максимального гарантированного результата
(МГР) – это один из самых общих принципов принятия решений в
условиях интервальной неопределенности. В соответствии с прин-
ципом МГР неопределенность устраняется введением предположе-
87
ния, что неопределенные параметры принимают наихудшие для
ЛПР значения.
Определения принципа МГР для очень широкого класса игр
можно найти в [21]. Приведем некоторые из них.
Пусть игровая ситуация с точки зрения i-го игрока определя-
ется вектором z = (yi, q, r), yi Î Ai, q Î Q, r Î W, и его выигрыш
Ki = Ki(z) зависит от ситуации. Пусть yi Î Ai – действие i-го игро-
ка, и на момент принятия игроком решения о выборе стратегии
ему известны значения параметров q Î Q. Об остальных пара-
метрах информации не ожидается. Тогда принцип МГР предлагает
использование, так называемой, гарантирующей стратегии.
Определение 20: Гарантирующая стратегия i-го игрока – это
стратегия, определяемая по формуле:
yi* ( ) Arg my aAx[mr in Ki ( yi , , r)]
i i
q q
Î ÎW
Î .
Другими словами, для того, чтобы найти гарантирующую
стратегию i-го игрока, необходимо при фиксированных известных
параметрах q найти минимум функции выигрыша по неизвестным
параметрам r Î W, а затем максимизировать результат миними-
зации выбором действия yi. Стратегия ) (θ y*i , на которой
достигается максимум, и будет гарантирующей.
Вектор ( ) (θ y*i )i Î N гарантирующих стратегий игроков назы-
вается максиминным равновесием.
Неизвестные параметры могут иметь очень широкое содер-
жательное наполнение: от информации о действиях других игро-
ков, о виде их целевых функций, до информации о правилах игры.
Рассмотрим с этой точки зрения игру с неполной информацией.
Пусть на момент принятия решения каждому игроку известен
его тип ri Î Wi, неизвестны типы других игроков rj Î Wj (j ¹ i) и их
стратегии. Если Ki(y1, …, yn, r1, …, rn) – функция выигрыша i-го
игрока, то его гарантирующей стратегией будет стратегия
( i ) Argmy aAx[y Am,irn i ( 1 ,..., n , 1 ,..., n )]
*i
y r K y y r r
iÎ i -iÎ -i -iÎW-i
Î , i Î N.
Можно заметить, что приведенное определение подходит и
для игр с полной информированностью – гарантирующей страте-
88
гией i-го игрока в игре с полной информированностью будет стра-
тегия
Arg max[ min ( 1 ,..., )]
*
yi y A y A Ki y yn
iÎ i -iÎ -i
Î .
Для существования гарантирующей стратегии достаточно
ограниченности функции выигрыша игрока и компактности
множеств стратегий Ai и множеств типов игроков Wi [21], поэтому
можно говорить, что гарантирующие стратегии существуют
«почти всегда».
Еще одним преимуществом МГР является то, что для вычис-
ления гарантирующей стратегии игрока i достаточно знать только
функцию его выигрыша, и не нужно знание функций выигрыша
других игроков.
Недостатком МГР является его чрезмерная пессимистичность.
МГР призывает игрока рассчитывать на наихудшее для него
поведение противников. Это оправданно в случае антагони-
стических игр, но, если игрок знает, что интересы противников
лишь ненамного отличаются от его интересов, предположение о
том, что рациональные противники будут выбирать наихудшее для
него действие, не всегда адекватно.