Переход от игры в развернутой форме к игре в нормальной форме

Постановка игры в нормальной форме гораздо проще для
изучения и формализации, чем игра в развернутой форме, поэтому
ниже будут рассматриваться только решения игр в нормальной
форме. Для игр же в развернутой форме построим формальную
процедуру перехода от них к играм в нормальной форме.
Сначала введем для игры в развернутой форме понятие
стратегии игрока.
Определение 3: Стратегией игрока для игры в развернутой
форме называется функция, отображающая множество информа-
ционных состояний игрока на множество его ходов таким образом,
что каждому информационному состоянию ставится в соответст-
вие один из возможных в данном состоянии ходов.
56
Таким образом, стратегия определяет, какую альтернативу иг-
рок должен выбирать в каждом из своих информационных состоя-
ний.
Множество стратегий каждого игрока будем обозначать Xi.
Элементы x декартова произведения множеств стратегий всех иг-
роков будем называть векторами стратегий, а само декартово
произведение будем обозначать X.
Для каждой вершины Q графа игры в развернутой форме и
каждого вектора стратегий xÎ X определим вероятность P(Q|x)
реализации данного состояния Q при использовании игроками
стратегий x с помощью рекуррентной процедуры, а именно:
- если Q – корневая вершина, то, для произвольных x,
P(Q|x) = 1;
- если вершина R предшествует вершине Q в графе игры, пе-
реход из R в Q определяется природой и происходит с ве-
роятностью p, то P(Q|x) = P(R|x) p;
- если вершина R предшествует Q в графе игры и переход из
R в Q определяется одним из игроков, то P(Q|x) = P(R|x) в
случае, если данный переход содержится в векторе страте-
гий игроков, в противном случае P(Q|x) = 0.
Таким способом для каждой терминальной вершины Fi можно
определить соответствующие вероятности P(Fi|x) попадания в них
при условии использования игроками вектора стратегий x.
Теперь можно определить ожидаемые значения выигрышей
игроков при использовании ими вектора x по формуле
(5) = å
j
Ki (x1,x2 ,…,xn ) f i (Fj )P(Fj|x) ,
где Fj – терминальные вершины графа игры.
Теперь можно определить игру в нормальной форме, которая
соответствует исходной игре в развернутой форме. Множество иг-
роков новой игры совпадает с множеством игроков исходной иг-
ры, множествами действий будут определенные выше множества
стратегий Xi, а функция выигрыша определяется формулой (5).
Эта игра вполне эквивалентна в исследовании исходной игре в
развернутой форме и, если определить, что для нормальной формы
игры целесообразными является набор действий xÎ X , тем са-
57
мым полностью определяется и поведение игроков в исходной иг-
ре.
Отметим, что, поскольку выше было дано описание лишь
дискретных игр в развернутой форме, то и получающиеся с по-
мощью рассмотренной процедуры игры в нормальной форме так-
же будут дискретными.
Пример 10. Построение игры в нормальной форме
для примера 4 «Минипокер».
Игрок 1 имеет два информационных состояния: он знает, ка-
ков цвет выбранной карты. Следовательно, его стратегиями будут:
{(повысить, повысить), (повысить, пасовать), (пасовать, по-
высить), (пасовать, пасовать)}. В этих парах первый элемент оз-
начает действие игрока в случае выпадения красной, второй – в
случае выпадения черной карты.
Второй игрок имеет одно информационное состояние и две
возможных стратегии {(Принять), (Пасовать)}.
Нормальная форма игры, построенная с учетом усреднения
полезности по состояниям природы (цвета выбранной карты) то-
гда будет следующей:
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
ö
ç ç ç ç ç è
æ
- -
-
-
(0,0) (0,0)
( 0.5,0.5) (1, 1)
(0.5, 0.5) (0,0)
(0,0) (1, 1)
,
,
,
,
Пасовать пасовать
Пасовать повысить
Повысить пасовать
Повысить повысить
Принять Пасовать
. ·
Понятно, что непрерывную игру, в которой множество стра-
тегий не является конечным, изобразить в виде конечного графа
невозможно. Однако, в большинстве случаев можно непосредст-
венно построить соответствующую игру в нормальной форме.