Определение игры в нормальной форме

В отличие от довольно сложной постановки игры, рассмот-
ренной выше, постановка игры в нормальной форме сравнительно
проста. Предполагается, что игроки имеют возможность лишь
один раз выбрать альтернативу (действие), каждый из своего
множества возможных действий. Также предполагается, что
выбор действия игроки производят одновременно и независимо
друг от друга, не зная выбора противников. После выбора всех
действий реализуется определенный исход. Каждому исходу со-
ответствуют значения полезности игроков, их выигрыши.
54
Всем игрокам известны как зависимость их выигрышей от ис-
хода игры, так и выигрыши противников. То есть в таком виде
определение игры в нормальной форме подходит только для игр с
полной информированностью.
В соответствии с введенной выше классификацией, среди игр
в нормальной форме можно выделить антагонистические игры, в
которых сумма выигрышей игроков при любом исходе равна
нулю, и игры с непротивоположными интересами, в которых
сумма выигрышей может быть различной для разных ситуаций.
Для экономических задач и задач организационного управ-
ления типична ситуация, когда интересы игроков не противопо-
ложны. Тогда, в принципе, игроки могут быть заинтересованы в
совместных действиях, например, в обмене информацией. Однако,
иногда подобное кооперирование запрещено правилами игры.
Этот случай является предметом исследования теории некоопера-
тивных игр. Кроме того, результаты теории некооперативных игр
будут использованы в дальнейшем при исследовании коопера-
тивных игр.
Определение 2: Игрой в нормальной форме n лиц с произ-
вольной суммой называется система30 Г = (Xi, Ki, i Î N), где Xi –
непустые множества действий, Ki – функции выигрыша игроков,
Ki: X1 ´ … ´ Xn ® Â1.
Обычно множества действий считаются компактами, то есть
ограниченными и замкнутыми множествами. Определения
замкнутости и ограниченности подразумевают, что на множестве
действий определено понятие сходимости, то есть задана, как
минимум, топология. Часто в доказательствах необходимо наличие
метрики на множестве действий. На практике множества действий
игроков обычно представляют собой подмножества векторного
пространства, для которых можно использовать евклидову метри-
ку.
30 При описании моделей теории игр (вне их связи с задачами управле-
ния ОС) будет использоваться принятая в теории игр система обозна-
чений.
55
Если множества действий игроков конечны, то действия каж-
дого игрока можно последовательно пронумеровать. Если, к тому
же, игроков двое, выигрыши первого игрока можно представить в
виде матрицы, в которой он выбирает действие – номер строки,
его противник выбирает действие – номер столбца, а на пересече-
нии столбца и строки находится число, соответствующее
выигрышу первого игрока. Аналогичную матрицу можно постро-
ить и для второго игрока. Определенная с помощью пары таких
матриц игра в нормальной форме называется биматричной.
Игры из примеров 5 и 6 – это игры в нормальной форме,
причем в примере 5 рассматривается биматричная игра. Приведем
еще один пример биматричной игры.
Пример 9 [65]. «Семейный спор».
Муж и жена решают, куда им пойти – на футбольный матч
или в театр. Если они не договариваются, то остаются дома. Пер-
вое действие каждого из игроков соответствует поездке на фут-
больный матч, второе – в театр. Биматрица игры записывается так
(первое число пары соответствует выигрышу мужа, второе –
выигрышу жены):